非直角三角形边长公式
如何计算不是直角三角形？
不是直角三角形怎么计算？
边长为有理数a，b，c三角形称为有理三角形。三角形的面积为：
一个自然问题是： 给出一个正有理数n，有没有一个有理三角形，面积为n？
我们可以做一些简单的观察：
①因为边长可以同时伸缩，只需要考虑 。
②取两个合理的直角三角形。如果它们的直边长度相同，可以将两个三角形沿个三角形拼成一个大的合理三角形，或者沿着这一边去除另一个三角形的长三角形，得到一个小的钝角有理三角形，面积是合理的。(通过余弦定理很容易知道，可以获得任何合理的合理三角形。
③ 有理数大于1 ，考虑边长 直角三角形，面积为 。
推论：对于非零有理数r，s，只要 有理三角形，面积为K。
Pf：若r，sgt1，则用②相加，若0ltrlt1，则用1/r代替r用②相减，若rlt0，则用-r代替r再用②相加或相减，s同样的情况。
根据①，以下只需证明：
最多相差一个有理数的平方， 以上形式的K可以得到任何正有理数。
Pf（Fine）：任给正有理数k，考虑 ，有理数x待定。代入有：
只需要右边的平方数，就可以知道K是可用的k(差一平方)，即证。
记 这是我们需要的平方数，y待定。为了消除右边的平方项，自然设置 ，a待定。我们希望最终得到x的方程相对简单。通过比较，我们可以知道我们应该得到a 中 的项系数 为0，即取 ， 。
代入 ，解得
综上所述，任何正有理数k，令 ，其中 ，则K(一个有理数的平方)=k。所以我们证明了：
1.任给一个正有理数n，有一个有理三角形，面积为n。
继续我们的讨论，一个自然的问题是：这样一个合理的三角形是唯一的吗？
可以直接验证kgt2，边长为 三角面积也是如此k，这个解释不是唯一的，而是通过伸缩（ks^2 to k）我们得到：
2.任给一个正有理数n，有一个无穷无尽的有理三角形，n。
例子：取上述公式k=1. 17/6, 3/2有理三角面积为1
与不知从何而来的公式相比，使用椭圆曲线可以给出解释。
与同余数问题类似，面积为n（mod 有理数的平方)的有理三角形将对应于一个家族的椭圆曲线 非二级有理点（t跑遍非零有理数，t=1对应的三角形是直角三角形)（Heron Triangles via Elliptic Curves
）
这个家族椭圆曲线的挠度控制得很好(注意它们都有四个二阶点，所以根据B. Mazur工作挠度部分的点只能是 或 ，根据简单的分析可以排除3、6、8阶挠点)，挠点只能有2阶点和4阶点。现在只需要构造一个面积为n的合理三角形，这样它对应的点P就不是一个特殊的4阶点，那么它就不会挠，然后P的不同倍数给出一个面积为n的合理三角形。
注意：根据海伦公式 ，考虑三角形的内切圆a，b，c由p，q，r表明，更好的问题应该是：对于哪些有理数C， 四次曲面 （关于p，q，r）
有有理点？
上述结论表明，C取有理数的平方时， 有无数的有理点(和p，q，rgt0)，它的论点可以延伸到任何正有理数C的情况。在公式解中，每个变量都是k的有理函数，几何是指曲面 包含失格为0的曲线；椭圆曲线的解法表明， 包含正rank椭圆曲线。
这一系列问题得到了很好的解决，可能是因为 (射影化)K3曲面并且 足够对称(具有良好的自同构)。这方面有一个project是专门研究K3曲面算术，如著名的费马曲面 ，又比如Ronald van Luijk有一篇文章An elliptic K3 surface associated to Heron triangles，是用K3.曲面理论获得了海伦三角形(边长和面积都是整数)，多个区域和周长都是给定这方面了解不多，所以暂时停止。