叙述区间套定理
区间套定理如何理解？
区间套定理如何理解？
什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）
哪位朋友知道区间套定理是什么？谢谢？
闭区间：数轴上任意两点a、b和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间，用[a,b]表示。与闭区间相对应的是开区间，开区间是不包含这两点的两点之间的线段所组成的区间，用(a,b)表示。闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。 闭区间套定理中的闭区间条件是必须的，否则结论不一定成立。 例如区间列In=(0,1/n)，n=1,2,3……，满足定理中除了闭区间外的其他全部条件，但是所有区间的交集是空集。 但是，如果将上下界的单调性改为严格的，就有“开区间套”定理： 若In=(an,bn)，n为自然数，a1lta2lt……ltanlt……ltbnlt……ltb2ltb1，且有当n趋近于无穷时|In|=bn-an趋近于0， 则存在唯一一点c属于所有区间In的交集。????
什么是区间套定理？
区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以。就说一下有上界数集如何证有上确界，下界类似。
分两步，第一步套出一个数，第二步证明这个数就是上确界。
①对于数集X，如果它有上界M，就构造闭区间列U[n]，U[1]=[a[1],M]，a[1]是任意一个数，只要使得U[1]∩X≠?就可以。U[2]这样构造，如果(a[1] M)/2到M之间有X中的数，就令U[2]=[(a[1] M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1] M)/2]。U[3]构造类似，就是再把U[2]一分为二，右半边如果有X中的数就等于右半区间，否则等于左半区间。就这样一直构造下去，所有的U[n]都是递减区间列，根据闭区间套定理，它们必有一个公共元素m。
②要证m就是X的上确界。下面分类讨论。
1)先说如果m就是集合X中的元素，那么假设X中还有比m大的m'，上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的，和m是公共元素矛盾了。这个比较好证明，就不写具体过程了。这样m在X中，而且X中还没有比m更大的数，显然m是X中的最大数，自然是上确界（根据上确界定义可知）。
2)m不在X中。先证明m任意小邻域里面有X中的数。还是反证法，假设可以找到一个δgt0，使得[m-δ,m δ]里面没有X中的数，那由于区间U[n]长度可以任意小，只要n足够大。所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ，但所有U都包含m，于是U[j]包含于[m-δ,m δ]中，但是[m-δ,m δ]中没有X中元素，意思是U[j]里面就没有X中元素，和一开始约定的U[n]构造规则矛盾，所以m任意邻域都有X中数。再证X中的数不可能比m大。还是反证法，和1)完全类似，就不写了。
根据上确界的定义，m是X的上确界，就找到了。