行列式的几何意义是什么
行列式指数几何意义？
行列式系数几何意义？
行列式的一个自然源起是n维平行面体的体积。行列式的概念和n维平行面体的体积拥有本质上的关系。 在一个二维平面上，2个向量X =(a, c)和X' =(b, d)的行列式是：
例如，2个向量X =(2, 1)和X' =(3, 4)的行列式是：
·经测算得知，当系数是实数时，行列式表示是向量X和X'所形成的平行四边形的有向总面积，并有以下特性：
·行列式为零当且仅当2个向量共线（线性相关），这时候平行四边形衰退成一条直线。
·如果以逆时针为正方向得话，有向总面积的价值是：平行四边形总面积为正当且仅当以起点为不动点将X反方向“转至”X'处时，扫过的地方在平行四边形里，不然的话总面积便是负的。如右图中，X和X'所构成的平行四边形面积便是正的。
·行列式是一个双线性映射。换句话说， ，
而且 。
其几何意义是：以同一个向量v做为一条边的两大平行四边形面积总和，相当于他们分别另一边的向量u和u'加在一起后向量：u u'和v所构成的平行四边形面积，如左图上所显示。 在三维的有向空间中，三个三维向量的行列式是：
例如，三个向量 (2, 1, 5)、(6, 0, 8)和 (3, 2, 4)的行列式是：
当系数是实数时，行列式表明X、X′和X″三个向量所形成的平行六面体的有向体积，也叫这三个向量的混合积。相同的，能够注意到如下所示特性：
·行列式为零当且仅当三个向量共线或是共面（三者线性相关），这时候平行六面体衰退为几何图形，体积为零。
·三维空间中有向体积的概念会比二维空间中繁杂，一般是依据右手定则来承诺。例如右图中(u,v,w)所产生的平行六面体的体积是正的，而(u,w,v)所产生的平行六面体的体积是负的。这一界定和行列式计算并不矛盾，由于行列式中向量的座标都在取好平面坐标之后才所决定的，而平面坐标的三个方位一般也是依照左手标准来设置的。假如测算开始的时候平面坐标的定项相反得话，有向体积的概念也需要跟随相反，那样行列式才可以意味着有向体积。
·这时候行列式是一个“三线性映射”，换句话说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量亦是如此。其几何意义和二维时基本一致，就是指当形成2个平行六面体的每一组三个向量中假如有两种是相似的，例如各是：(u,v,w)和(u',v,w)，那样它们体积之总数相当于将u和u'加在一起后向量u u'和v,w所产生的平行六面体的体积，如右图所示。 设E是一个一般的n维的有向欧几里