函数在邻域连续说明什么
连续性与可导性？
连续性与可导性？
先看几个定义：
（1）连续点：如果函数在某一邻域内有定义，且x-x0时limf(x)f(x0)，就称x0为f(x)的连续点。
一个推论，即yf(x)在x0处连续等价于yf(x)在x0处既左连续又右连续，也等价于yf(x)在x0处的左、右极限都等于f(x0)。
这就包括了函数连续必须同时满足三个条件：
（1）函数在x0 处有定义；
（2）x- x0时，limf(x)存在；
（3）x- x0时，limf(x)f(x0)。
初等函数在其定义域内是连续的。
（2）连续函数：函数f(x)在其定义域内的每一点都连续，则称函数f(x)为连续函数。
（3）连续性与可导性关系：连续是可导的必要条件，即函数可导必然连续；不连续必然不可 导；连续不一定可导。典型例子：含尖点的连续函数。
为什么若f(x)在点x0连续，则f(x)在x0的某个邻域内不一定连续？
因为它的这个某个邻域并没有说范围，如果实际是在x0周边一点点连续，而这范围太广了就不会连续了，所以说不一定
关于导数与连续的问题。若fx在x处具有二阶导数，能否说明它在x的某个邻域内，一阶导数连续？
很显然，不能随便类比。
这是高等数学里面的一个常见问题。
某点一阶导数存在，只能保证该点连续，并不能保证邻域连续，也不能保证邻域导数存在。
有一个经典的反例，须要牢记。
令f（x）x^2D（x）
D（x）——狄利克雷函数
则f（x）在x0处连续，可导。
在x≠0处，不连续，不可导。
函数在某点连续就一定可导吗？
连续不一定可导,可导一定连续.
函数在某点可导,有两个必要条件
（1）函数在该点处连续【不需要在这一点的某邻域内都要连续】
（2）该点两侧导数相等,即左右导数相等.
例如：y|x|,在x0处连续,但因为左导数为-1,右导数为1,不相等.故y在x0处不可导.
1、连续的函数不一定可导。
2、可导必连续。
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。
4、存在处处连续但处处不可导的函数
函数的邻域有什么作用？
邻域是一段连续的实数区间，包括中心与半径，
如（1，2）就是 3/2 的 1/2 邻域，其中 3/2 是中心，1/2 是半径，
x0 的 δ 邻域就是满足 |x - x0|lt δ 的 x 的取值集合。
高数中，邻域最主要的是中心，半径有时是无穷小的。
相应的还有去心邻域，是满足 0lt |x - x0|lt δ 的 x 值集合。
函数的定义：
给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用yf（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。